3 reacties

Van mening veranderen (3)

De vraag op tafel is waarom verschillende mensen anders reageren op min of meer dezelfde informatie. In casu: waarom heb ik mijn geloof verloren nav het ontdekken van een meer wetenschappelijke visie op de bijbel en theologie in het algemeen, terwijl er massa’s anderen zijn die met dezelfde kennis wel in god blijven geloven. (Alhoewel? Atheïsten blijken meer kennis van religie te hebben dan gelovigen 😉 ) Verder kan er ook nog onderscheid worden gemaakt tussen mensen die een meer vrijzinnige inhoud zijn gaan geven aan hun godsbeeld en diegenen die orthodox zijn gebleven.

Deel 1 ging over een aantal eerste ideeën en mogelijke oorzaken, deel 2 over enkele theorieën uit de kennisleer of epistemologie die wat licht kunnen werpen op dit onderwerp. We gaan nu nog een stap verder in de kennisleer om in een latere post hopelijk weer meer terug te keren naar ons onderwerp om enige conclusies te kunnen trekken. Deze keer iets over Bayesiaanse epistemologie. Dat is epistemologie gebaseerd op Bayesiaanse statistiek. DISCLAIMER: Voor mensen die werkelijk niets afweten van statistiek en kansen kan dit dus wellicht wat technisch en lastig worden, al probeer ik het begrijpelijk te houden.

Bayes?

Dominee Thomas Bayes leefde in de 18e eeuw en was naast zijn domineeschap ook een niet onverdienstelijk wiskundige/statisticus. Hij is bijna onsterfelijk door het naar hem genoemde theorema dat een compleet eigen tak van statistiek heeft opgestart. Belangrijkste verschil tussen de Bayesiaanse statistiek en de klassieke statistiek is de opvatting over wat een kans is.

De klassieke statistiek wordt door Bayesianen ook wel frequentistische statistiek genoemd, omdat kansen zijn gedefinieerd als frequenties. Dus de kans om 6 te gooien met een (zuivere) dobbelsteen is 1/6. Dat betekent dat als je oneindig vaak met de dobbelsteen zou gooien, je in 1/6e keer van de worpen een 6 zal gooien. Dit is dus een objectieve definitie van wat een kans is, ook al zal het in de praktijk erg lastig zijn om oneindig vaak met een dobbelsteen te gooien.

Bayesianen zien kansen als iets subjectiefs. Een kans is een getal (tussen 0 en 1, dat dan nog weer wel) dat aangeeft hoe zeker je bent van een bepaalde gebeurtenis of de waarheid van een bepaalde overtuiging, maar dat kan dus voor iedereen verschillend zijn! Waarom? Omdat die kans wordt bepaald door welke voorinformatie je erin gooit. Dit maakt Bayesiaanse statistiek vaak beter geschikt voor gebeurtenissen die buiten het normale liggen. Gooien met dobbelstenen kunnen we heel vaak doen, maar zaken die buiten het normale dagelijks leven vallen zijn lastig te herhalen. Hoe bepaal je de kans dat god bestaat? Oneindig veel werelden bekijken en dan blijkt 1/6 van de werelden wel een god te hebben en de overige niet?

Hoe werkt de Bayesiaanse statistiek? Met twee kansen: de prior-kans en de posterior-kans. Helemaal zonder voorinformatie zit je nooit, al is het maar een soort instinctief gevoel. Dat wordt de prior-kans genoemd. Vervolgens kun je deze eerste prior-kans updaten door te kijken naar (relevante) feiten en kennis die er invloed op kunnen hebben. De nieuwe kans die hier uitkomt wordt de posterior-kans genoemd.

En daar komt het theorema van Bayes van pas, die bepaalt namelijk precies wat de posterior-kans is. Je hoeft alleen de prior en het bewijsmateriaal in te pluggen. Het mooie is dat we dit kunnen blijven volhouden. We hebben nu een posterior-kans, maar als er een nieuw relevant feit naar boven komt, dan gebruiken we de posterior-kans alsof het een nieuwe prior-kans is, en gebruiken we Bayes om het nieuwe feit mee te nemen in onze inschatting van de kans.

Een voorbeeld dan maar?

Hou het even simpel bij het gooien met dobbelstenen. Wat is de kans dat ik twee keer achter elkaar 6 gooi met een dobbelsteen? Met een beetje gezond verstand bedenk je al snel dat dit 1 op 36 is. Stel nu dat ik voor de eerste keer gooi met die dobbelsteen en dat daar 6 uitkomt. Dit een een nieuw relevant feit voor de kans dat ik twee keer achter elkaar 6 zal gooien. Namelijk, nu stijgt de kans dat ik twee keer 6 gooi aanzienlijk van 1/36 naar 1/6. Precies de kans dat ik in de tweede worp ook 6 gooi.

In formules ziet dat er als volgt uit (als dit er heel intimiderend uitziet kun je verder lezen bij de volgende kop.):

De notatie is als volgt: O staat voor de overtuiging, daar zijn we uiteindelijk ten slotte mee bezig, en B staat voor het bewijsmateriaal.  Pr(x) betekent de kans dat x waar is (of dat x gebeurt afhankelijk van waar we het over hebben), en Pr(x | y) is de conditionele kans dat x waar is gegeven dat y waar is. Dus dat betekent niet dat y daadwerkelijk waar is, maar iets als: “stel dat we doen alsof y waar is, wat zou dan de kans zijn dat x waar is?”.

Dan is in bovenstaande formule Pr(O) de prior-kans, en Pr(O | B) is de posterior-kans. We beginnen dus met gewoon een inschatting van de waarheid van een bepaalde overtuiging O. En vervolgens komt er een relevant bewijs voorbij dat we B noemen, en kunnen we zien hoe dat bewijsmateriaal onze prior-kans verandert in de posteriorkans: Pr(O | B).

Waarom deze formule er zo uitziet is vrij simpel af te leiden, maar nu even niet belangrijk.

Nou, als we het bovenstaande voorbeeld hier inpluggen dan krijgen we het volgende. O staat nu voor twee keer achter elkaar 6 gooien en B is de eerste keer 6 gooien. Om de kans te bepalen dat we twee keer 6 gooien, gegeven dat we de eerste keer al 6 hebben gegooid (ofwel: Pr(O | B), de posterior-kans) hebben we drie andere kansen nodig:

  • Pr(O), de prior-kans, en die was 1/36;
  • Pr(B | O), die  wordt ook wel de likelihood genoemd, en dat is de kans op B (de eerste keer 6 gooien) gegeven dat O (de eerste twee keer 6 gooien). Aangezien O impliceert dat B (je kan niet de eerste twee keer 6 gooien zonder de eerste keer 6 te hebben gegooid) is deze kans 1;
  • Pr(B) de kans dat het bewijsmateriaal voorkomt, ofwel in dit geval de kans dat we de eerste keer 6 gooien, en dat is 1/6.

Als we die drie kansen in de formule stoppen krijgen we: (1/36) / (1/6) = (1/36) * 6 = 1/6. Dus Bayes’ formule werkt zoals we hierboven al hadden beredeneerd.

Wat kunnen we hiervan leren?

Ondanks dat er nog veel discussies gaan over hoe we dit nu moeten interpreteren als het om epistemologie gaat (is dit beschrijvend, hoe mensen bewijsmateriaal daadwerkelijk verwerken? Is dit voorschrijvend, hoe rationele mensen hun overtuigingen zouden moeten bijstellen onder invloed van bewijsmateriaal?) kunnen we hier een aantal lessen uit trekken.

Ten eerste dat overtuigingen niet per definitie zwart/wit ofwel waar of niet-waar hoeven te wezen. We kunnen heel goed overtuigingen hebben waarvan we denken dat ze waar zijn, maar waarvan we het niet zeker weten. In dat geval is het goed om een gevoel te kunnen hebben van hoe zeker je bent van een bepaalde overtuiging. Een hele precieze kans blijft lastig, maar er zit toch een fundamenteel verschil tussen een overtuiging waar je 0,99 zeker van bent en eentje waarvan je 0,5 zeker van bent.

Tweede is de opmerking dat als we beginnen met een prior-kans van precies 0 of precies 1, dan zal de posterior-kans nooit veranderen. Maakt niet uit welk bewijsmateriaal er komt, volgens Bayes’ formule blijft de posterior dan gelijk aan de prior, precies 0 of precies 1. Dit lijkt een soort fout te zijn, maar een ander idee is dat de fout niet zit in Bayes, maar in het hebben van een zo sterke prior-kans. Als die namelijk 0 of 1 is ben je echt 100% zeker dat een bepaalde overtuiging niet of juist wel waar is. Als je toch al 100% overtuigd bent, dan zal bewijsmateriaal je ook niet aan het twijfelen brengen, sterker nog, waarom zou je dan überhaupt je gaan verdiepen in bewijs voor en tegen?

Dit is iets dat zeker speelt in discussies over religieuze overtuigingen. Mensen discussiëren vaak niet om er zelf iets van te leren, om zelf hun overtuigingen te updaten, maar vooral om anderen te overtuigen van hun eigen gelijk. Meer evangelisatiedrang dan nieuwsgierigheid. Dat betekent dus in de praktijk dat men dan met een zo sterke prior een discussie ingaat dat de posterior niet meer verandert.

Hierop voortgaand: als we echt geloven in falliblism waar we het vorige keer over hebben gehad, dan zullen we dus nooit en te nimmer een prior-kans stellen op 0 of 1. Ze kunnen daar heel dicht tegenaan zitten, maar zullen altijd ergens ertussen moeten zitten. Zo gek is dat niet: Newton’s wetten bleken uiteindelijk niet waar te zijn; momenteel draait de natuurkunde op de relativiteitstheorie en de quantummechanica, en die twee spreken elkaar tegen, dus minimaal 1 van die twee is niet waar, en gegeven het bewijsmateriaal voor beiden zijn ze hoogstwaarschijnlijk allebei niet waar.

Derde dat we hiervan kunnen leren is de realisatie dat één bepaalde opvatting ook weer kan dienen als bewijsmateriaal voor andere opvattingen. Dus als er nieuw bewijsmateriaal komt dat die ene opvatting verandert, dan kan dat (weer via de formule van Bayes) “doordruppelen” naar andere opvattingen.

Dit is bijvoorbeeld belangrijk in discussies over evolutie of schepping. Als je al niet gelooft in het bestaan van een schepper (de posterior-kans voor “er bestaat een scheppende god” is erg laag) dan dient dat als bewijs voor de posterior-kans dat de wereld geschapen is, en die zal dan dus ook laag worden. Andersom natuurlijk net zo: ben je overtuigd van het bestaan van een schepper-god, dan zal de posterior-kans dat onze wereld geschapen is erg hoog zijn, en dus al snel hoger dan de posterior-kans dat evolutie waar is.

En als we dan teruggaan naar punt 2, dan zien we dat als je met kans 1 er vanuit gaat dat er een schepper-god bestaat die dus ook (met prior-kans = posterior-kans = 1) onze wereld gemaakt heeft, dan maakt het niet uit hoeveel bewijs er is voor evolutie, het zal nooit invloed hebben op de overtuigingen van die persoon.

Dit derde punt, dat alle overtuigingen met elkaar samenhangen, pas ontzettend goed in de theorie van Quine waar we het vorige keer over hebben gehad. Volgens Quine hebben we allemaal een web van overtuigingen, en die hangen allemaal samen. Sommige overtuigingen zitten aan de buitenkant en kunnen we vrij direct met bewijsmateriaal toetsen aan de werkelijkheid. Andere overtuigingen zitten in het centrum en zijn niet direct te toetsen aan bewijsmateriaal. Maar die worden dus getoetst aan onze andere overtuigingen!

Conclusie

We hebben er statistiek bijgehaald, zelfs zitten rekenen met een formule met als resultaat drie lessen die we eruit konden trekken. Ten eerste zijn overtuigingen niet zwart/wit, waar/niet-waar. Onze overtuigingen zijn in meer of mindere mate plausibel. Het heeft dus niet zoveel zin om te praten over dingen die absoluut zeker zijn of niet, dingen die je wel of niet kunt weten, het heeft meer zin om te vragen naar ondersteunende argumenten van een bepaalde overtuiging. Dat bepaalt namelijk in grote mate de plausibiliteit, of ook de posterior-kans van een overtuiging. Daarbij merken we op dat dit wiskundig is en daarom zeker lijkt te zijn. Deze kansen zijn echter subjectief, afhankelijk van iemands prior-kans en ook van iemands inschatting van de zwaarte van het bewijs.

Tweede dat we kunnen leren is dat het zelfs uitermate onverstandig is om 100% zeker te zijn van een overtuiging, dat maakt namelijk dat relevant bewijsmateriaal gene invloed meer heeft op je overtuigingen. Je kan altijd wel een andere verklaring ergens voor verzinnen, en als je echt 100% zeker bent van je overtuigingen dan maakt het niet uit hoe onwaarschijnlijk die verklaringen zijn. Dit ondersteund het idee van falliblism dat we vorige keer al langs hebben zien komen.

Derde dat we hebben geleerd is dat onze overtuigingen met elkaar in verbinding staan. Sommige overtuigingen kunnen we niet direct toetsen aan relevant bewijsmateriaal, maar kunnen we wel toetsen aan onze andere opvattingen. Dit is ook van invloed op het debat over foundationalism en coherentism (geen idee wat de Nederlandse termen zijn 😉 ). Zijn al onze opvattingen gebouwd op een fundering van zekere overtuigingen of is het vooral een groep die met elkaar consistent is? Interessant ook en zal ik volgende keer denk ik eens wat over schrijven…

Advertenties

3 reacties op “Van mening veranderen (3)

  1. […] Zowel het Quine’s web van overtuigingen uit deel 2 als de Bayesiaanse epistemologie uit deel 3 hebben kenmerken van beiden met waarschijnlijk een neiging richting […]

  2. […] gebeurtenis (wel of geen opstanding) leidt tot een bepaald verhaal (over wel een opstanding). Een bayesiaan zou zeggen dat de posterior (de kans dat de opstanding heeft plaatsgevonden) afhankelijk is van de […]

Geef een reactie

Vul je gegevens in of klik op een icoon om in te loggen.

WordPress.com logo

Je reageert onder je WordPress.com account. Log uit / Bijwerken )

Twitter-afbeelding

Je reageert onder je Twitter account. Log uit / Bijwerken )

Facebook foto

Je reageert onder je Facebook account. Log uit / Bijwerken )

Google+ photo

Je reageert onder je Google+ account. Log uit / Bijwerken )

Verbinden met %s

%d bloggers liken dit: